論理は、ことばとことばの関係の一種であり、とくに推論と呼ばれる関係を扱う。
主張Aと主張Bとの間の関係を考えたときに、「Aを認めるならばBも必ず認めなければならない」ような性質のものであるなら、Aを前提、Bを結論と呼び、AからBが導出された、というような言い方をするのであった。【前回記事参照】
このような推論を構築するためには、基本的なパーツがある。まるで、レゴブロックで色々な世界が作り出せるように、いくつかの基本的な型によってあらゆる推論が構築されるのだ。
ここでは、命題論理を構成する語彙「ではない」「かつ」「または」「ならば」を考察する。これらの否定語と接続語のそれぞれについて次の二つのことを考えていく。
- 何からその主張が導けるのか
- その主張から何が導けるのか
ではさっそく、シンプルで力強い推論の世界を見ていこう。
論理学の基本方針：導入則と除去則
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突然だが、あなたはどのような時に「かつ」という言葉を使うだろうか？
「今日の晩御飯はとんかつがいいなあ」
というのも、たしかに「かつ」を使っているけれど、そういうことではない。接続語として、文と文をつなぐ働きのある「かつ」は、どのようなシチュエーションのときに使うことができるのか、ということだ。
それは例えば、このような文ではないだろうか。
「太郎は富士山に登ったことがあり、かつ、花子も富士山に登ったことがある」
そして、この文が正しいといえるのは、次の二つの文が両方とも正しい言える時だ。
- 「太郎は富士山に登ったことがある」：A
- 「花子は富士山に登ったことがある」：B
このような、ある特定の語を用いた主張がどのような時に導かれるのか、というルールは導入則と呼ばれる。「A」と「B」の両方の主張が正しいとき、「AかつB」と言っていい。野矢論理学では、ある主張に特定の語を「入れる」ので「○○入れ」といった表現をしている。たとえば、「かつ」の導入則は、ある主張に「かつ」という語をいれるので「かつ入れ」と名付けられている。
逆に、ある特定の語を用いた主張から何が導かれるのか、というルールは除去則と呼ばれる。野矢論理学では、ある主張から特定の語を「取る」ので「○○取り」といった表現をしている。
「かつ」の除去則は一体どのようなものだろう。それは、思いつく人もいると思うが、「かつ」で連結された二つの主張から、単体の主張が導かれる、というものである。
AかつB → A
「AかつB」という主張から「かつ」という語が取られて、「A」という主張が導かれた様子が分かるだろう。もちろん、単体の「B」を導いても問題ない。
このように、それぞれの語彙について導入則と除去則を考えていくことが論理学のパーツを集めることになる。その語を用いた主張が、何から導かれ、何を導くのか。その導きの連続が、あらゆる前提からあらゆる結論への道を示すことになるわけである。
では、この基本方針のもとに、４つの語について基本パーツを集めていこう。
①否定「ではない」
導入則（背理法）
「Ａではない」と言えるのは、「Ａ」と主張するとまちがいになるときだ
背理法……「Ａ」を仮定して矛盾が導かれるとき「Ａではない」と結論してよい
まずは否定語だ。私たちが「ではない」という語を用いるとき、というのは、ある主張を打ち消すときであると言える。
たとえば「机の上にお金がない」という主張は、「机の上にお金がある」という主張を打ち消している。この状況においては、「机の上にお金がある」ということを主張すると、それはまちがいになる。だから、「ではない」という語が登場してくる。
ここで、「矛盾」という語についても論理学の定義を与えておこう。
「Ａ」と「Ａではない」を同時に両方主張すること、つまり、「Ａかつ（Ａではない）」という主張は、「矛盾」と呼ばれます。
野矢茂樹.入門！論理学(中公新書)(p.64).中央公論新社.Kindle版.
「私は人間であり、かつ、人間ではない」というと、中二病らしくてかっこいい気もするけれど、このような形式の主張がなされた時点でその主張は誤りだということになる。ということは、常に誤りであるこの形式の主張を否定すると、その主張は必ず正しいということになる。これは、矛盾律と言われている。
矛盾律……（Ａかつ（Ａではない））ということはない
また、似たような法則で排中律と言われているものがある。
排中律…… Ａまたは（Ａではない）
排中律は、この形式をとると必ず正しい主張になる。たとえば中二病の文も「私は人間であるか、または、人間ではないかだ」という主張をとれば、それは必ず正しい。中身がなにに置き換わっても問題はないのだ。
「え、だから何？」「すごく当たり前でどうでもいい」と思われた方もいるかもしれない。しかし、その、当たり前すぎてありがたみがわからないようなものこそ、論理的なパーツとしてふさわしい。といのも、推論というのは、前提から結論が「絶対確実に」導かれるものであるから、その途中までの経路で一切の疑念が排除されなければならないからだ。
除去則（二重否定取り）
二重否定は文字通り、ある文を二回否定するものだ。「裏の裏は表だよ」でいい。
二重否定則 入れ……Ａ→（Ａではない）ではない
取り……（Ａではない）ではない→Ａ
平な肯定文に否定を二個入れる「二重否定入れ」と、否定が二個入った分から否定を取る「二重否定取り」があって、この二つを合わせて二重否定則という。そのなかでも、二重否定取りを否定の除去則として採用しておこう。
②連言「かつ」
「かつ」という接続語は論理学では連言（れんげん）と言われている。論理学の基本方針のところで説明したので、ここではさらっと行こう。
導入則（かつ入れ）
Ａ、Ｂ→ＡかつＢ
上の式があらわすことは、「AとBの両方とも正しいなら、AかつBと結論してよい」ということだ。繰り返しにはなるが、「A」と「B」という文に「かつ」という語を導入するから導入則と言われる。
除去則（かつ取り）
ＡかつＢ→Ａ
ＡかつＢ→Ｂ
ここでは、連言でつながれた主張から、単体の主張を取り出してもよい、ということを押さえておけばいい。
③選言「または」
「または」という接続後は選言と言われる。どちらか一つを選ぶから、ということなのだろう。
導入則（または入れ）
Ａ→ＡまたはＢ
Ｂ→ＡまたはＢ
これは少し違和感があるかもしれない。というのも、「A」が正しいとなった時点で「AまたはB」ということが主張できるのであれば、「B」は全然無関係でもいいということになるからだ。
「ひつじは動物である、または、名古屋市は東京都にある」と言ってもいい。しかも、この「または」文は論理的には正しいということになる。もちろん「ひつじは動物である、または、名古屋市は愛知県にある」といっても問題ない。一つでも正しい文が含まれてさえいれば、「または入れ」した文は必ず正しくなるのだ。
除去則（または取り）
ＡまたはＢ、Ａではない→Ｂ
ＡまたはＢ、Ｂではない→Ａ
「または」という語は、「かつ」と違って言葉の働きが全然異なるなあと感じることがおおい。「かつ」という語を取るためには「AかつB」という主張一つがあればよかったが、「または」はそうはいかない。
「または」が含まれている文から「または」を除去するには、選択肢をつぶす必要がある。「僕が大事にとっておいたプリンを食べたのは太郎である、または、僕が大事にとっておいたプリンを食べたのは花子である」という主張から「または」を取るためには、「僕が大事にとっておいたプリンを食べたのは太郎ではない」という打消しがあればいい。そうしたら、筆者は心置きなく花子をなじることができるのだ。
④条件法「ならば」
導入則（ならば入れ）
導入則……「Ａ」を仮定して「Ｂ」が導かれるとき、「ＡならばＢ」と結論してよい。
この「ならば」は、著者である野矢氏を苦しめたものだった。『入門！論理学』は初学者向けに書かれた本だが、その規則をわかりやすく説明できないのだ。というのも、導入則をじっと目をこらして読んでみてほしい・・・「A」を仮定して「B」が導かれるときに「AならばB」といっていい・・・では、「導かれる」とは一体どういうことなのだろうか。どういうときに「導かれる」と言えるのだろうか。
つまり、何かというと、この導入則は無内容なのだ。「A」を仮定して「B」が導かれることを「AならばB」と言い換えてもよい、ぐらいの意味しかなくて、その論理が一体何者なのかという正体については触れられない。説明できないけれどわかるよね、という、奥深い問題であるのだ。
ここでは「ならば入れ」についてさらに言及することはしないで次に進むとしよう。
除去則（ならば取り）
除去則……Ａ、ＡならばＢ→Ｂ
「ならば取り」は比較的理解がしやすい。「半額になっているならば花子は必ず弁当を買う」という条件と「弁当が半額だ」という事実があるなら、「花子はその弁当を買う」と導ける。
応用問題：ド・モルガンの法則
高校の時に、数学の授業でド・モルガンの法則というのを勉強する。それは、次のような内容だ。
二つの推論について、それぞれ右の矢印と左の矢印があるから計４つの推論がある。この内、下の推論の右の矢印を、論理学の基本パーツをつかって証明してみよう。
（AまたはB）ではない → （Aではない）かつ（Bではない）
まず、結論では「かつ」があるから、「かつ入れ」をしなければいけないなあと、方針を立てる。そして、「Aではない」ことを言うためには、「否定入れ」をしなければいけないので、「A」を主張すると間違いになることを示さなくてはいけない。背理法である。「A」を主張できたなら、「AまたはB」といってもいい。ここで、矛盾が発生するわけだ。
- （AまたはB）ではない・・・前提
- Aを仮定する
- AまたはB・・・2. と「または入れ」
- 前提の「（AまたはB）ではない」と 3. の「AまたはB」が矛盾
- Aではない・・・2. と 4. と背理法
- 同様にBではない
- （Aではない）かつ（Bではない）・・・5. と 6. と「かつ入れ」
以上のように、ド・モルガンの法則のうちの、一つの推論が、論理学の基本的なパーツで組み立てられた。
野矢氏が説明するに、これらの基本的な論理学のパーツ（導入則と除去則）は、「ではない」「かつ」「または」「ならば」を使用する命題論理の基礎となっており、命題論理の推論であるならばすべて、これらのパーツの組み立てで証明できるのだ。
すごい駆け足で説明してしまって申し訳ないと思う。ただ、こうした基礎的なパーツであらゆる推論が説明可能だという驚き、わくわくの断片でもお伝えできればよかったと思う。
もちろん、論理の世界はこれで終わりではなくて、「すべて」と「存在する」に関しても同様の考察を進めることができる。命題論理に「すべて」と「存在する」を付け加えた論理体系は述語論理といわれている。
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しかし、なんというか、やはり本の解説はもどかしいところがある。野矢先生の論理学の解説はもう十分魅力的でわかりやすく、専門性もある。その内容を拙く繰り返しているのだと思うと、なんだか、意義のないことをしているなあと思うのだ。ただ、それでいいと決心したのだった。道端に転がっている石ころのようなページであると方針を決めた以上、これでもいいと自分を納得させよう。
読者には、そんな諦めに満ちた解説を諒としていただいて、そしてぜひ、『入門！論理学』を手に取ってほしい。